Mon avis :
Le chat ne comprendra pas pourquoi tu l'enfermes.
Jamais je ne mettrais mes chats en cage en mon absence, ils ont besoin de place pour se défouler, même la nuit quand tu dors. Ils vivent aussi bien la nuit que le jour, mange, vont à la litière...etc...
Personnellement j'ai deux chats et deux gerbilles en terrarium, je n'ai aucune crainte. Tant que le lézard est sécurisé. Change plutôt son habitation plutôt que d'enfermer le chat.
Pour ce qui est de l'oiseau, ma mère avait un chat et un perroquet. Jamais aucun soucis. Même si le chat avait l'habitude de chasser les oiseaux à l'extérieur, il a bien compris que celui qui était en cage à l'intérieur, il n'avait pas le droit d'y toucher. Après bien sûr, il faut surélever la cage, s'assurer qu'il n'y est aucun accès en hauteur pour le chat...etc...
Quand on souhaite mélanger les espèces il faut faire preuve d'adaptation pour que tout le monde vive intelligemment.
Donc voilà, ce que j'en pense : on enferme pas un chat quand on est absent ou la nuit.
(PS : les chiens idem, mais là n'est pas la question)
En définitive essaye de t'arranger pour éviter ça au chat !